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      公考行測數量新動向——容斥問題的極值構造

      2017-05-16 16:32 山西人事考試網 http://www.dp622.com/ 文章來源:山西華圖評論

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        距離2017年國考的時間僅剩33天,熟練、精確地把握考試中的各種題型是獲得一個高分的前提和基礎。本文將重點研究在公務員考試中一個高頻考點容斥問題的極值構造,以此和大家分享。

        所謂“極值問題”就是通常說的最大值,最小值的問題,題干中通常有“至少”,“至多”等題眼,解決這類問題通常有兩種方法,一是極限思想,另一種就是逆向思維。我們通過以下幾個例題詳細介紹:

        【例1】某社團共有46人,其中35人愛好戲劇,30人愛好體育,38人愛好寫作,40人愛好收藏,至少有幾個4個活動都參加?

        【解析】逆向思維,分別考慮不喜歡其中某項活動的人數是多少,由題意可知,分別為11,16,8,6,只有當這四項集合互相沒有交集的時候,四項活動都喜歡的人數才最少,因此最少人數為46-11-16-8-6=5

        【例2】參加某部門招聘考試的共有120人,考試內容共有6道題。1至6道題分別有86人,88人,92人,76人,72人和70人答對,如果答對3道題或3道以上的人員能通過考試,那么至少有多少人能通過考試?

        【解析】(極限思想):要使通過的人最少,那么就是對1道,2道的人最多,并且應該是對2道的人最多(這樣消耗的總題目數最多),假設都只對了2道,那120人總共對了240道,而現在對了86+88+92+76+72+70=484,比240多了244道,每個人還可以多4道(這樣總人數最少),244/4=61。

        (逆向思維):先算出來1-6題每題錯的人數120-86=34 120-88=32 120-92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通過的人數最少,就是沒通過的人數最多,讓錯的人都只錯4道就錯的人最多,總的錯的題數為34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61

        (注意:算出來的值要跟上述的每一題做錯的值相比,只有大于上述每一個值,才可以直接拿總數去減)

        【例3】一次考試共有五道試題,做對第1、2、3、4、5題的分別占考試人數的81%、91%、85%、79%、74%,如果做對三道或三道以上為及格,那么這次考試的及格率至少是多少?

        (參考例2的思維)100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90

        90/3=30,100-30=70。因為30>26(錯的最多的題次),所以直接除以3。

        【例4】一次考試共有五道試題,做對1、2、3、4、5題的分別占考試人數的84%、88%、72%、80%、56%,如果做對三道或三道以上為及格,那么這次考試的及格率至少是多少?

        100-84,88,72,80,56=16+12+28+20+44=120,120/3=40,(16+12+28+20)/2=38,100-38=62

        【解析1】及格率至少多少,就是錯的要最多,也就是錯3道題目要最多。錯的題目:16+12+28+20+44=120,120/3=40,考慮40<44,所以錯的題目有多算了。所以:要錯3題最多,則第五道題肯定要錯,那么題目可以轉化為:前四道題錯2題的最多,即16+12+28+20=76,76/2=38,38<44。所以錯三道最多為38%。那么及格率至少為1-38%=62%。(跟例2的解法作對比,掌握不同的處理方式)

        【解析2】假設這次考試有100人參加,那么五題分別做對的人數為84、88、72、80、56人。全班共做對84+88+72+80+56=380(題)。要求及格率最少,也就是讓不及格人盡量的多,即僅做對兩題的人盡量的多;要讓及格的人盡量的少,也就是說共做對5題和共做對4題的人要盡量的多。我們可以先假設所有人都只做對兩題,那么共做對100×2=200(題)。由于共做對5題的最多有56人,他們一共多做了56×3=168(題),這時還剩下 380-(200+168)=12(題)。因為做對4題的人要盡量的多,所以每2題分給一個人,可以分給12÷2=6(人),即最多6個人做對4題。加上做對5題的56人,那么及格的人最少有56+6=62(人),也就是及格率至少為62%。

        【例5】在陽光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水。已知甲澆了30盆,乙澆了75盆,丙澆了80盆,丁澆了90盆。請問:(1)恰好被3人澆過的花最少有多少盆?

        【解析】100盆花共被澆水275次,平均每盆被澆2.75次,那說明一定有一些花被澆3次或4次才可能使得平均數為2.75。要使被澆3次的花少,只需被澆4次 的花多即可,由于甲只澆了30盆,那么被澆4次的花最多只能有30盆。排除這30盆花,余下70盆被澆了155次,平均每盆被澆2.21次,為了接近總數 155次,我們假設70盆都被澆2次,那么共被澆140次,還少15次,我們只好讓其中15盆花每盆再多澆一次。所以答案為15盆

        通過對以上真題的分析,可以看出,容斥問題的極值構造其實并不難,關鍵是要能夠分析清楚題目當中的關鍵信息,然后按照題目特點進行推導就可以了。像容斥問題的極值構造這類試題,計算量不大,更多考查的是考生思維能力及對細節的把握。

        


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      (編輯:張曉光)

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